Lembro que esse material está mesclado com material fornecido pela faculdade UNIP, dessa maneira, partes do conteúdo são extraido da entidade informada.
Dessa maneira o estudo será dividido em 4 partes ok.
Bom estudo a todos:
Lógica parte 1:
INTRODUÇÃO
O que é lógica?
A lógica ensina a colocar “ordem no pensamento”.
Breve histórico da lógica
A lógica começou a se desenvolver principalmente com Aristóteles (384-322 a.C.), filósofo grego nascido na cidade de Estagira, na Calcídica, Macedônia, distante 320 quilômetros de Atenas. Além dele, também outros antigos filósofos gregos passaram a usá-la em suas discussões, sentenças enunciadas nas formas afirmativa e negativa, resultando, assim, numa grande
simplificação e clareza, com efeito de grande valia em toda a matemática.
As obras de Aristóteles abordam vários ramos do saber: política, zoologia, botânica, física, metafísica, filosofia e outros. A lógica é tratada por Aristóteles no livro Orgânon. Na era moderna, o matemático alemão Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646-1716), em 1666, publicou seu principal trabalho relacionado à lógica. Já no século XVIII, Euler (1707-1783) introduziu a representação gráfica das relações entre as sentenças ou as proposições, mais tarde ampliada por Venn (1834-1923), Veitch, em 1952, e Karnaugh, em 1953. O diagrama Veitch-Karnaugh permite a simplificação de expressões matemáticas complexas. Adiante, George Boole (1815-1864), matemático inglês que se tornou o pai da álgebra booleana, utilizou símbolos e
operações para representar proposições e suas inter-relações. A álgebra de Boole, apesar de ter existido há mais de cem anos, não teve uma utilização prática até 1937, quando foi aplicada pelas primeiras vezes à análise de circuitos e relés.
SISTEMAS DICOTÔMICOS
1.1 Proposições
As proposições são sentenças declarativas, que satisfazem três princípios fundamentais.
• Princípio da identidade: se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.
• Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa.
• Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.
Uma proposição verdadeira possui o valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui o valor lógico F (falso). Esses valores também podem ser representados por 0 para as proposições
falsas e por 1 para as proposições verdadeiras. Sendo assim, a representação (0 ou F) e (1 ou V) são corretas.As proposições simples são indicadas pelas letras minúsculas latinas p, q, r, s, t, u, v, x etc.;
Por exemplo:
• p: “Júpiter é um planeta”;
• q: “a somatória dos ângulos internos de qualquer triângulo é
180º”.
1.1.1 Proposições lógicas
Expressões do tipo “5 + 7”, “o dia está nublado” ou “x + 8
= 23” não são proposições lógicas, já que não se pode associar
a elas um valor lógico definido (V ou F). Desta forma, essas
sentenças declarativas abertas dependem de um qualificador
para se tornarem proposições; por exemplo, “x + 8 = 23” será
uma proposição lógica quando for definido o valor de x. Nesse
caso, se x = 15, a sentença será verdadeira, ou, se x ≠ 15, a
sentença será falsa.
Abaixo seguem algumas proposições e seus respectivos
valores lógicos:
• p: “o estado do Paraná faz divisa com o Equador” (F) ou (0);
• q: “São Paulo é uma metrópole” (V) ou (1);
• r: “todas as árvores são frutíferas” (F) ou (0);
• s: “5 + 5 = 10” (V) ou (1);
• t: “3! = 6” (V) ou (1);
• u: “1/0 = 1” (F) ou (0).
1.1.2 Símbolos da lógica matemática
Símbolo Definição
¬ ou ∼ não
∧ e
∨ ou
→ se ..., então
← somente se
↔ se, e somente se
tal que
⇒ implica
⇔ equivalente
∃ existe
∃| existe um, e somente um
∀ qualquer que seja
2 - OPERAÇÕES LÓGICAS SOBRE PROPOSIÇÃO
As proposições lógicas simples, por exemplo, p e q, podem
ser combinadas através dos operadores lógicos ∧, ∨, → e ↔, e
passarem a formar proposições compostas, do tipo p ∧ q, p ∨
q, p → q e p ↔ q. Assim, as proposições compostas recebem as
seguintes definições:
• conjunção: p ∧ q (“p e q”);
• disjunção: p ∨ q (“p ou q”);
• condicional: p → q (“se p, então q”);
• bicondicional: p ↔ q (“p se, e somente se q”).
3 - CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições
simples p e q, com o uso da tabela-verdade é possível
determinar os valores lógicos das proposições compostas
decorrentes.
Desta forma, sejam p e q duas proposições simples, de valores
lógicos 0 quando falsas (F) e 1 quando verdadeiras (V), pode-se
construir a tabela-verdade conforme segue:
p q p ∧ q p ∨ q p → q p ↔ q
V V V V V V
V F F V F F
F V F V V F
F F F F V V
Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela-verdade possuirá 2n linhas.
Das tabelas acima, é possível inferir que:
• a conjunção é verdadeira somente quando ambas as
proposições são verdadeiras;
• a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições
são falsas;
• a condição é falsa somente quando a primeira proposição
é verdadeira e a segunda é falsa;
• a bicondicional é verdadeira somente quando as proposições
possuem valores lógicos iguais.
Veja o exemplo.
Dadas as proposições simples:
• p: “o Brasil não é um país” (F) ou (0);
• q: “5 + 7 = 13” (V) ou (1).
Sendo assim, baseado na tabela-verdade, tem-se:
• p ∧ q tem valor lógico F ou 0;
• p ∨ q tem valor lógico V ou 1;
• p → q tem valor lógico V ou 1;
• p ↔ q tem valor lógico F ou 0.
Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela-verdade possuirá 2n linhas.
Das tabelas acima, é possível inferir que:
• a conjunção é verdadeira somente quando ambas as
proposições são verdadeiras;
• a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições
são falsas;
• a condição é falsa somente quando a primeira proposição
é verdadeira e a segunda é falsa;
• a bicondicional é verdadeira somente quando as proposições
possuem valores lógicos iguais.
Veja o exemplo.
Dadas as proposições simples:
• p: “o Brasil não é um país” (F) ou (0);
• q: “5 + 7 = 13” (V) ou (1).
Sendo assim, baseado na tabela-verdade, tem-se:
• p ∧ q tem valor lógico F ou 0;
• p ∨ q tem valor lógico V ou 1;
• p → q tem valor lógico V ou 1;
• p ↔ q tem valor lógico F ou 0.
3.5 Tautologia
Ocorre quando, para qualquer valor lógico das propos
simples, a proposição composta “s” é sempre verdadeira.
exemplo, observe s: (p ∧ q) → (p ∨ q), como segue:
p q p ∧ q p ∨ q (p ∧ q) → (p ∨ q)
V V V V V
V F F V V
F V F V V
F F F F V
Dize-se então que “s” é uma tautologia.
Veja também este exemplo:
p p → p
V V
F V
A → A é uma tautologia.
Assim como:
p ¬p p∨¬p
V F V
F V V
p∨¬p é uma tautologia.
3.6 Contradição
É uma proposição composta que sempre tem valor F. Logo, p
é uma contradição se, e somente se ¬p é uma tautologia, e p é
uma tautologia se, e somente se ¬p é uma contradição.
Sabemos que a proposição composta t: p ∧ ¬p é uma
contradição, então vejamos a seguir:
p ¬p p ∧ ¬p
V F F
F V F
Também são contradições os exemplos a seguir:
p ¬p p∧¬p
V F F
F V F
p∧¬p é uma contradição.
p ¬p p↔¬p
V F F
F V F
p↔¬p é uma contradição.
3.7 Contingências
São proposições compostas em que os valores lógicos
independem dos valores das proposições simples.
